REFLEKSI KEDUA

PEMIKIRAN FILSAFATI TENTANG MATEMATIKA

Bidang pengetahuan sebagai perwujudan dari interaksi filsafat dengan matematika yang sangat menarik dengan perhatian filsuf dan/atau ahli matematika disebut dengan pelbagai nama, yakni:

- philosophy of mathematics ( filsafat matematika)

- foundation of mathematics ( landasan matematika)

- metamathematics ( adi – matematika)

- mathematical philosophy ( filsafat kematematikaan)

Bidang pengetahuan yang disebut filsafat matematika merupakan hasil pemikiran filsafati yang sasaranya ialah matematika itu sendiri. Filsafat sebagai rangkaian aktivitas dari budi manusia ialah pemikiran reflektif ( reflective thinking). Pemikiran reflektif atau untuk singkatannya refleksi (reflection) dapat dirincikan sebagai jenis pemikiran yang terdiri atas mempertimbangkan secara cermat suatu pokok soal dalam pikiran dan memberikannya perhatian yang sungguh – sungguh dan terus menerus ( the kind of thinking that consists in turning a subject over in the mind and giving it serious and consecutive consideration). Suatu pendapat lain yang mirip merumuskannya sebagai pertimbangan cermat secara penuh perhatian beberapa kali terhadap hal yang sama (thinking attentively several times over same thing). Dalam sebuah kamus pisikologi reflective thinking dianggap sepadan dengan logical thinking (pemikiran logis), yakni aktifitas budi daya manusia yang diarahkan sesuai dengan kaidah – kaidah logika.

Dengan demikian filsafat matematika pada dasarnya adalah pemikiran reflektif terhadap matematika. Matematika menjadi ilmu pokok soal yang dipertimbangkan secara cermat dan penuh perhatian. Pemikiran filsafati juga bersifat reflektif dalam arti menengok sendiri untuk memahami bekerjannya budi itu sendiri. Ciri relektif yang denikian itu ditekankan oleh para filsuf Inggris R.G. Collingwood yang menyatakan “Philosophy is reflective”. The philosophizing mind never simply thinks about an object; it always, while thinking about any object, think also about its own thought about than object.” (Filsafat bersifat reflektif. Budi yang berfilsafat tidaklah semata – mata berpikir tentang suatu obyek, budi itu senantiasa berpikir juga berpikir tentang pemikirannya sendiri tentang obyek itu). Jadi budi manusia yang diarahkan untuk menelaah obyek – obyek tertentu sehingga melahirkan matematika kemudian juga memantul berpikir tentang matematika sehingga membutuhkan filsafat matematika agar memperoleh pemahaman apa dan bagaimana sesungguhnya matematika itu.

Di antara ahli – ahli matematika dan para filsuf tidak tampak kesatuan pendapat mengenai apa filsafat matematika itu. Sebagai sekedar contoh dapatlah dikutipkan dari perumusan – perumusan dari 2 buku matematika dan 2 buku filsafat yang berikut:

1) Suatu filsafat matematika dapatlah dilukiskan sebagai suatu sudut pandangan yang dari situ pelbagai bagian dan kepingan matematika dapat disusun dan dipersatuja berdasarkan beberapa asas dasar.

2) Secara khusus suatu filsafat matematika pada dasarnya sama dengan suatu percobaan penyusunan kembali yang dengannya kumpulan pengetahuan matematika yang kacau – balau yang terhimpun selama berabad – abad diberi suatu makna atau ketertiban tertentu.

3) Penelaah tentang konsep – konsep dari pembenaran terhadap asas – asas yang dipergunakan dalam matematika

4) Penelaah tentang konsep – konsep dan sistem – sistem yang terdapat dalam matematika, dan mengenai pembenaran terhadap pernyataan – pernyataan berikut.

Dua pendapat yang pertama dari ahli – ahli matematika menitik beratkan filsafat matematika, sebagai usaha menyusun dan menertibkan bagian – bagian dari pengetahuan matematika yang selama ini terus berkembang biak. Sedang 2 definisi berikutnya dari ahli filsafat merumuskan filsafat matematika sebagai studi tentang konsep – konsep dalam matematika dan pembenaran terhadap asas atau pembenaran matematika.

Menurut pendapat filsuf Belanda Evert Beth di sampingnya matematika sendiri dan filsafat umum harus pula dibedakan adanya 2 bidang pemikiran lainya, yakni filsafat matematika dalam arti yang lebih luas (philosophy of mathematics in a broader sense) dan penelitian mengenai landasan matematika (foundation mathematics). Landasan matematika kadang – kadang disamakan pengertiannya dengan filsafat matematika. Tetapi sesungguhnya landasan matematika merupakan bidang pengetahuan yang palling sempit dari bidang filsafat matematika. Foundation of mathematics khususnya bersangkut paut dengan konsep – konsep asas foundamental (fundamental concepts and principles) yang mempergunakan dalam matematika. Dengan demikian kedua definisi philosophy of mathematics dari kamus – kamus filsafat tersebut diatas lebih merupakan batasan pengertian matematika. Charles Parsons dalam The Encyclopedia of Philosophy menegaskan:

Penelitian landasan senantiasa bersangkutan dengan masalah tentang pembenaran terhadap pernyataan – pernyataan dan asas – asas matematika, dengan pemahaman mengapa proporsisi – proporsisi tertentu yang jelas sendirinya adalah demikian, dengan pemberian pembenaran terhadap asas – asas yang telah diterima tampaknya tidak sendirinya begitu jelas, dan dengan penemuan dan penanggalan asas – asas yang tak terbebankan.)

Dari konsep pokok dan prinsip dasar foundations of mathematics meneruskan penelaahnya sehingga sampai pada sifat alami ( nature) dari matematika bahkan juga tentang metode matematika. Hal ini dapat ditegaskan dalam Encyclopaedia Britannica sebagai berikut:

Penelaah tentang landasan matematika telah bersangkut paut dengan konsep – konsep dan patokanpikir – patokanpikir mengenai konsep – konsep itu yang dengannya matematika bermula. Khususnya setelah 1900 penyelidikan – penyelidikan landasan berlangsung hingga mencakup suatu penyelidikan terhadap sifat alani dan lingkupan dari metode matematika.

Dengan adanya perluasan pokok soal dan permasalahan yang ditelaah itu dapatlah dimengerti bilamana foundations of mathematics seolah – olah identik dengan philosophy of mathematics. Tetapi seperti yang telah dinyatakan dimuka landasan matematika sesungguhnya kalah luas dibandingkan dengan filsafat matematika. Seorang ahli matematika menyatakan bahwa perkataan atau ‘foundations’ bilamana dipakai oleh para ahli matematika mengacu pada studi tentang sifat alami mendasar dari matematika (studies of the basic nature of mathematics.

Dalam abad 20 ini studi mengenai sifat alami dari matematika membubuhkan 3 mahzab landasan matematika yang terkenal dengan nama logisisme, formalisme, dan intutionisme. Mahzab logisisme dipelopori oleh para filsuf Inggis Bertrand Artur Williams Russell. Dalam 1903 terbitlah buku beliau The Principles of mathematics yang berpegang pada pendapat bahwa matematika murni semata – mata terdiri atas deduksi – deduksi dan prinsip logika. Dengan demikian matematika dan logika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematika dapat dituturkan dari logika. Dalam sebuah karya tulis lainya Russell menegaskan hubungan matematika sebagai berikut:

Tetapi kedua – duanya berkembang dalam zaman modern; logika telah menjadi bersifat matematis dan matematika menjadi bersifat logis.Akibatnya ialah bahwa kini menjadi sepenuhnya tak mungkin untuk menarik suatu garis di antara keduanya; sesungguhnya dua hal itu merupakan satu. Mereka berbeda seperti anak dan orang dewasa:logika merupakan masa muda dari matematika dan matematika merupakan masa muda dari logika.

Dalam tahun 1910 – 1913 Bertrand Russell bejerja sama dengan Alfred North White Head mengarang karya tulis raksasa berjudul Principia Mathematika (Asas – asas Matematika) sebanyak 3 jilid dengan tebal seluruhnya 1992 pagina untuk membuktikan bahwa logika masa muda dari matematika dan matematika masa dewasa dari logika. Pembuktian itu memulai dengan pangkal – pangkal pendapat dari logika dan kemudian dengan deduksi – deduksi iba pada hasil yang nyata – nyata ternasuk dalam bidang matematika. Sesuatu pengertian matematika seperti misalnya bilangan terbukti dapat dinyatakan dengan istilah istilah logika – logika atau dalam rangka tetapan – tetapan logika dan segenap sifatnya ditunjukan oleh logika.

Mahzab landasan matematika formalisme dipelopori ahli matematika besar dari Jerman David Hilbert. Menurut mahzab ini sifat alami dari matematika adalah sebagai sisitem lambang yang formal. Matematika bersangkut paut dengan sifat – sifat struktural dari simbol – simbol dan proses terhadap pengolahan lambang itu.

Simbol – simbol dianggap mewakili pelbagai sasaran yang menjadi obyek matematik. Bilangan – bilangan misalnya dipandang sebagai sifat – sifat struktural yang paling sederhana dari benda – benda. Dengan simbolisme abstrak yang dilepaskan dari sesuatu arti tertentu dan hanya menunjukkan bentuknya saja mahzab formalisme berusaha menyelidiki struktur dari pelbagai sistem. Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung mahzab tersebut merumuskan matematika sebagai ilmu tentang sisitem – sistem formal (Mathematics is the science formal system).

Berlawanan dengan mahzab formalisme berkembanlah mahzab landasan matematika intutionisme yang dipelopori ahli matematika Belanda Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Beliau berpendirian bahwa matematika adalah bagian yang eksak dari pemikiran manusia. Ketepatan dalil dalil matematika terletak dalam akal manusia (human intellect) dan tidak pada simbol – simbol diatas kertas sebagaimana diyakini oleh mahzab formalisme. Dalam pemikiran mahzab intutionisme matematika berandaskan suatu ilham dasar ( basic intution) mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tak terbatas. Ilham ini pada hakekatnya merupakan suatu aktivita berpikir yang tak tergantung pada pengalaman, bebas dari bahasa dan simbolisme, serta bersifat secara obyektif.

Istilah ‘foundation’ dalam bidang keilmuan mempunyai makna – makna berlainan. Oleh karena itu untuk kejelasan maknanya kadang – kadang dibubuhi cirinya yang dimaksud. Dalam kaitannya dengan matematika orang menegaskannya dengan istilah ‘logical foundation of mathematics’ ( landasan logis matematika). Istilah ‘logical foundations’ dapat juga dipersamakan dengan ‘philosophical foundations’ ( landasan filsafat) seperti misalnya dilakukan oleh filsuf Rudolf Carnap (1981 – 1970). Dengan landasan logis atau filsafati itu para ahli sesuatu bidang ilmu didasarkan kemungkinan keterbatasan dan kesalahan dari patokanpikir – patokanpikir yang digunakannya sebagai pangkal ilmunya.

Selain landasan matematika yang kadang – kadang secara kurang tepat dipersamakan dengan filsafat matematika, ada lagi suatu bidang pengetahuan yang juga dicampurkan dengan philosophy of mathematics, yakni metamathematics (adi matematika). Misalnya Arthur Pap yang menegaskan perbedaan antara mathematics dan metamathematics menyatakan bahwa meta – mathematics disebut juga “philosophy of mathematics”.

Perkataan Yunani ‘meta’ berarti di luar, di atas titik balik, atau sesudah. Dalam hubungannya dengan sesuatu cabang ilmu atau bidang pengetahuan awalan meta umumnya diartikan sebagai suatu teori, suatu bahasa, atau suatu uraian yang justru membahas atau mempaparkan cabang ilmu yang bersangkutan. Dengan demikian secara harafiah mathematics memang dapat berarti bidang pengetahuan yang berada di luar atau di atas matematika yang menelaah matematika itu sendiri seperti halnya filsafat matematika. Tetapi menurut asal mulanya dan pertumbuhan selanjutnya adi – matematika dimaksukkan sebagai teori pembuktian untuk menetapkan ada atau tidak konsistensi dalam matematika dan menjawab masalah lainnya seperti problim keputusan dan kelengkapan dalam suatu sistem formal. Sebagai pangkal perkenalan dapatlah kiranya dikutipkan 4 buah perumusan mathematics yang berikut:

1). Formalisasi dari pembuktian matematika dengan perantaraan suatu sistem logika memungkinkan adanya sebuah teori tentang pembuktian dan hal dibuktikan yang dalam teori itu pembuktian dan hal yang dapat dibuktikan yang dalam teori itu pembuktian – pembuktian diperlakukan sebagai pengolahan – pengolahan nyata terhadap rumus – rumus dan tidak dipersoalkan arti dari rumus – rumus itu. Ini merupakan teori pembuktian dari Hilbert atau adi – matemtika.

2). Adi – Matematika adalah suatu cabang dari logika matematika yang menelaah teori – teori formal dan memecahkan persoalan – persoalan yang menyangkut teori – teori demikian itu.

3). Pattrick Suppes merumuskan metamathematics sebagai cabang matematika yang menyelidiki struktur dari sistem – sistem bahasa atau teori – teori yang diformalkan dan hubungannya dengan entitas – entitas matematika lainnya (that branch of mathematics which investigates the structure of formalized languages of theories and their relationship to other mathematical entities).

4). Hilbert dan para pengikutnya memakai ide – ide semacam ini untuk menyusun sebuah teori pembuktian yang diformalkan, termasuk didalamnya sebagai teori logika simbiotik. Tujuan dari teori itu adalah membuktikan konsistensi dari struktur logis matematika biasa. Oleh karena itu berada diluar matematika, ini disebut adi – matematika)

Dari kutipan diatas ternyata menurut intinya ada kesatuan pendapat mengenai apa mathematics itu. Tetapi pelbagai perumusan itu juga menunjukkan suatu perbedaan yang mencolok yakni status adi – matematika apakah merukpakan suatu teori di luar matematika atau suatu cabang/sistem logika ataukah suatu bagian dari itu sendiri. Ahli matematika Perancis Jean Dieudonné ahli matematika sesungguhnya merupakan suatu cabang dari matematika terapan, karena perbincangan – perbincangan matematika diterapkan pada objek berupa kalimat – kalimat dari teori yang diformalkan dan pengaturannya menjadi pembuktian – pembuktian.

Mathematics dipelopori dan dikembangkan oleh David Hilbert yang juga menjadi pelopor dari mahzab landasan matematika formalisme. Formalisasi yang ketat itu meliputi penentuan – penentuan simbol – simbol yang dengan abstraksi sepenuhnya lalu terlepas dari sesuatu arti tertentu. Rangkaian lambang – lambang tersusun baik kemudian menjadi formula – formula atau rumus – rumus untuk memaparkan perbincangan – perbincangan berdasarkan bentuknya (form) saja. Perbincangan dalam bahasa biasa mempergunakan kalimat – kalimat yang dipahami berdasarkan artinya. Bagi sesuatu cabang matematika formalisasi yang demikian itu menghasilkan sistim formal ( formal system). Sistim formal ini kadang – kadang disebut pula teori formal atau matematika formal. Selanjutnya dalam program Hilbert sistem formal sebagai suatu keseluruhan di jadikan obyek dari suatu studi matematika yang dinamakan adi – matematika atau teori pembuktian. Sthepen Cole Kleene dalam buku pengantarnyamenegaskan lingkupan adi – matematika itu sebagai berikut:

Adi – matematika meliputi pemaparan atau definisi dari sistem – sistem formal maupun penyelidikan terhadap sifat – sifat dari sistim formal khususnya matematika, yakni menelaah sifat – sifat dari sesuatu sistim formal khusus, kita dapat menanamkan sistem teori itu teori sasaran dan adi – matematika yang bertalian dengannya adi – teorinya.

Demikianlah dari uraian dimuka ternyatalah bahwa metamathematics juga tidak identik dengan philosophy of mathematics. Seperti halnya foundations of mathematics, adi – matematika juga lebih terbatas ruang lingkupnya daripada filsafat matematika, yakni menelaah sifat – sifat dari sesuatu sistem formal khususnya matematika untuk membuktikan konsistensi dan kelengkapan dari sesuatu cabang matematika.

Dalam kepustakaan masih ada satu lagi bidang pemikiran filsafati yang bersangkut paut dengan matematika, yaitu mathematical philosophy yang sebaiknya di terjemahkan ke Bahasa Indonesia menjadi filsafat kematematikaan untuk dibedakan dengan filsafat matematika (philosophy of mathematics). Tampaknya suatu pembedaan dapatlah kiranya dilakukan menafsirkan mathematical philosophy sebagai filsafat berdasarkan matematika, sedang tafsiran philosophy of mathematics ialah filsafat mengenai matematika. Dengan tafsiran yang demikian itu tampaklah kini perbedaan yang lebih jelas antara kedua bidang pemikiran itu. Filsafat kematematikaan sebagai suatu filsafat berdasarkan matematika memakai matematika sebagai pangkal tolak sumber ide untuk melakukan pemikiran filsafati. Suatu contoh dari mathematical philosophy adalah Phytagoreanisme yang dipaparkan dalam Bab I dimuka. Aliran filsafat ini berpangkal pada bilangan mengemukakan pemikiran filsafati bahwa semua fenomena alam merupakan pengungkapan inderawi dari perbandingan – perbandingan matematis. Di pihak lain filsafat matematika sebagaimana dinyatakan pada permulaan bab ini merupakan pemikiran filsafati tentang matematika untuk memperoleh pemikiran tentang matematika itu untuk memperoleh pemahaman menganai segenap segi apa dan bagaimana dari matematika itu.

Usaha ini untuk memahami segenap aspek dari matematika telah membubuhkan bidang pengetahuan filsafat matematika yang sangat luas pada dewasa ini. Filsafat matematika merupakan salah satu cabang dari filsafat ilmu – seumumnya (philosophy of science – in – general). Dengan demukuan persoalan – persoalan dalam filsafat ilmu seumumnya juga mempunyai kaitan dengan filsafat matematika.