Minggu, 07 Juni 2009

TUGAS AKHIR PERKULIAHAN FILSAFAT PENDIDIKAN MATEMATIKA

MENGAPAI FILSAFAT PENDIDIKAN MATEMATIKA

Apa yang aku pertama kali aku dengarkan waktu kuliah Filsafat dengan dosen ,aku hanya memikirkan apa arti filsafat baik secara umum, dan khususnya filsafat pendidikan matematika. Secara perlahan – lahan aku berusaha mempelajari arti filsafat dari penjelasan dosen aku mungkin tidak begitu baik tapi aku berusa memahami arti yang sebenarnya. Yang aku tahu selama ini bahwa dalam filsafat merupakan “berfikir” namun ada kalanya filsafat itu dibagi dalam tiga pilar yaitu 1). Aksiologi 2).Epistemologi dan 3).Ontologi. Namun peranan filsafat pendidikan matematika juga bisa untuk merefleksikan, dan memberikan pertanggungjawaban akan matematika. Dan aliran absolutist dari filsafat matematika seperti logicism, formalism, intuitionism. Filsafat matematika adalah segenap pemikiran relektif terhadap persoalan – persoalan mengenai segala hal yang menyangkut landasan matematika serta hubungan matematika dengan segala segi kehidupan manusia. Landasan itu mencakup berbagai konsep pangkal, anggapan dasar, struktur teoritis, dan ukuran kebenaran.
Salah satu cabang pokok dari filsafat ialah epistemologi yang dikenal juga dengan sebutan teori pengetahuan. Cabang ini khusus menelaah segi- segi dari pangkal ilmu pengetahuan seperti kemungkinan, asal mula, sifat dasar, batas – batas, pangkal anggapan, keterpercayaan dan kebenaran pengetahuan. Dengan demikian, epistemologi matematika juga membahas berbagai segi itu, khususnya dari matematika. Persoalan tentang apakah matematika itu, termasuk jenis pengetahuan apa, bagaimana ciri- cirinya, dan betapa luasnya ditelah oleh epistemologi matematika. Sampai sekarang para filsuf dan ahli matematika masih mencoba merumuskan apa sesungguhnya matematika itu. Banyak definisi matematika telah dikemukakan, namun banyak pula sanggahanya kata Cassius Keyser.
”The science of mathematics - what shall it be said to be? A question much discussed by philosophers and mathematicians in the course of more than 2000 years, and especially with deepened interest and insight in own times. Many have been the answers, but none has approved itself as final” . Masih diperdebatkan bahwa peranan filsafat matematika adalah untuk mengungkapkan hakekat matematika , dimana akan berhubungan dengan isu eksternalseperti sejarah, kejadian dan kegunaan matematika seperti halnya isu internal yang meliputi ontology dan epistemology seperti pembenaran pengetahuan matematika. Kreteria ini secara eksplisit dapat dinyatakan sebagai : pembicaraan filsafat matematika harus berdasar kepada:
1. Pengetahuan matematika : hakekat , pembenaran, dan kejadian.
2. Objek matematika : hakekat dan asal usulnya.
3. Penggunaan matematika : efektifitas dalam sains teknologi dan lainnya.
4. Pratek –prayek matematika : aktifitas matematika baik dalam waktu dulu, sekarang dan masa lampau.
Oleh karena itu criteria tersebut memberikan penyegaran bagi peranan filsafat matematika. Peranan tersebut sesuai dengan tujuan filsafat matematika yang telah dikaburkan oleh kesalahan dalam mengidintifkasi filsafat matematika dengan studi dasar –dasar pengetahuan matematika itu sendiri. Banyak sekali yang harus kita pelajari dalam sebuah filsafat pendidikan matematika tidak hanya dari dosen namun kita juga harus berusaha mencari refrensi yang lain yang bisa menunjang dalam mempelajari apa arti filsafat secara umum. Dan kita juga harus melihat hakekat sebuah matematikayang terdapat dalam filsafat antara lain:
Hakekat matematika
• Matematika merupakan kegiatan penelusuran pola dan hubungan
• Matematika adalah kreativitas yang memerlukan imajinasi,intuisi, dan penemuan
• Matematika adalah kegiatan problem solving
• Matematika merupakan alat komunikasi
Dalam mempelajari filsafat terdapat penjelasan dari para filsuf yang mengarikan apa itu filsafat disini aku berusaha menjelaskan apa yang telah dikatakan oleh para filsuf bahwa (Matematika adalah penelaahan tentang apa yang benar mengenai keadaaan pengandaian dari benda –benda. Itulah sarapati dan batasanya.) Dengan demikian, matematika tergolong sebagai ilmu yang bersifat abstrak atau seringkali disebut juga matematika murni ( pure mathematics). Karena ciri –cirinya yang abstrak dan murni itu, Betrand Russel membuat perumusan dalam 1901 yang sampai sekarang terkenal bunyinya demikian: “ Thus mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are saying true.” (“ Dengan demikian, matematik dapat didefinisikan sebagai mata pelajaran yang di dalamnya kita tak pernah mengetahui apa yang sedang kita bicarakan maupun apakah yang kita katakan benar.”). Makna perumusan Russel itu ialah bahwa setiap sistem matematika sebagai landasanya yang penghabisan berpangkal pada unsur-unsur yang tidak diterangkan lebih lanjut. Dengan kata lain, semua perumusan dalam matematika pada akhirnya didasarkan pada istilah-istilah yang tak diuraikan artinya (undefined terms). Istilah-istilah itu dalam bentuknya sebagai lambang belaka tidak memiliki arti dari dunia kenyataan, bahkan boleh dikatakan kosong dari suatu pengertian atau tidak mengandung isi apa-apa. Dari uraian tersebut di atas ternyata matematika selain merupakan suatu ilmu yang bersifat abstrak juga bersifat deduktif, hal yang lebih utama bagi matematika bukanlah sasaran – sasaranya, melainkan metode logika atau metode pembuatan kesimpulan yang dipakai. Oleh karena itu dalam abad ke-20 ini terdapat pendirian yang memandang matematika sebagai suatu metode pemikiran. Dalam pernyatan Morris Kline: “Terutama matematika adalah suatu metode penyelidikan yang dikenal sebagai pemkiran berdasarkan potsulat. Metode itu terdiri dari merumuskan secara seksama definisi-definisi dan patokanpikir dengan orang menerapkan logika paling ketat yang mungkin dipakai orang“. Pembuatan kesimpulan dari patokanpikir –patokanpikir yang telah ditentukan di muka itu lazim disebut penalaran deduktif, penyimpulan secara deduktif, atau acapkali deduksi saja. Matematika menyangkut penyimpulan dari kumpulan aksloma yang ditetapkan pada berbagai sistem matemaika, dan kesimpulan –kesimpulanya hanyalah diterima setelah ditetapkan berdasarkan deduksi. Tanpa pembuktian deduktif yang paling ketat dari patokanpikir-patokan pikir yang disebutkan secara tegas,maka tidak ada matematika menurut pendapat Bell.
Berhubung dengan itu, matematika kadang-kadang dianggap sebagai suatu cabang dari ilmu tentang pemuatan kesimpulan. Penegasan tentang matematika sebagai ilmu yang menyangkut pembuatan kesimpulan pertama – tama dinyatakan oleh ahli matematikan Benjamin Pierce( 1809-1880). Perumusan Pierce itu sebagaimana perumusan Russell tentang matematika murni dimuka juga sangat terkenal dan kedua-duanya merupakan ucapan yang paling banyak dikutip oleh pengarang-pengarang buku matematika. Kalau perumusan Russell menekankan sifat matematika yang abstrak, perumusan Pierce ini juga agak kabur dan dapat meliputi banyak hal yang bukan matematika.

Refrensi : -Marsigit. 2007. Filsafat Pendidikan Matematika. Handout. Yogyakarta: FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
-www.google.co.id

Kamis, 30 April 2009

ELEGI SEBUAH BANGUN SEGI-4

ELEGI SEBUAH BANGUN SEGI-4

Oleh :priyono

Matematika :

Wahai kau bangun-bangun segi-4 apa saja yang kau punyai untuk bisa digunakan matematika sampai sekarang aku belum tahu yang kau berikan ?

Persegi:

Akulah persegi matematika, aku tidak mempunyai apa-apa yang aku berikan kepada matematika tapi aku bisa digunakan semua orang. Hampir semua orang memakai aku yang tidak ada gunanya.

Matematika :

Apa saja yang digunakan orang pada kamu persegi? Bagaimana orang pada menggunkan kamu apakah kamu istimewa atau kamu paling bagus dari semua bangun segi-4?

Persegi:

Aku tidak istemewa tapi aku mempunyai beberapa sifat-sifat matematika

Aku mempunyai bentuk yang bisa dibagi 2 yang sama besar, jadi kalau digunakan banyak manfaatny. Seperti aku bisa digunakan untuk bingkai foto,buku,dll.

Matematika :

Apakah aku bisa menggunakan kamu persegi?

Persegi :

Kamu bisa bertanya kapada persegi panjang apakah aku bisa digunakan oleh kamu matematika.

Matematika:

Persegi panjang aku matematika apa kamu juga bisa aku gunakan dalam kehidupan yang semakin sempit ini?

Peersegi panjang :

Wah aku hanya sebuah bangun yang tidak mempunyai apa-apa matematika?

Matematika:

Katanya kamu mempunyai beberapa kegunaan seperti yang dibilang oleh persegi, jadi sebetulnya siapa yang mempunyai kegunaaan buat aku matematika. Bagaimana aku harus menemukannya?

Persegi panjang:

Sebenarnyya aku jug tidak mempunyai banyak kegunaan tapi ya itulah kalau dah dipakai pasti terbuanglah kami. Aku hanya mempunyai apa yang dipunyai persegi karena aku mempunyai sifat pada persegi tapi persegi belumbisa seperti saya.

Matematika:

Kenapa bisa kalian bisa sama padahal jelas-jelas bedakan?

Persegi panjang:

Ya sekilas kita memang beda tapikita mempunyai kemiripan seperti: aku juga bisa dibagi 2 kaya persegi, aku juga ada besar sudut aku juga sama dan aku juga bisa digunakan oleh orang kaya bikin kolam renang pasti orang akan meniru bentuk aku.

Matematika :

Jadi apa kalian bisa digunakan oleh matematika?

Persegi panjang:

Wahai matematika kamu Tanya dulu kepada jajargenjang apakah aku dan persegi bisa kau gunakan?

Matematika:

Wahai jajargenjang apa yang bisa kamu berikan kepada aku matematika? Katanya kamu mempunyai yang tidak dipunyai oleh persegi dan persegi panjang

Jajargenjang :

Ya aku jajargenjang matematika, aku juga tidak tahu apa yang aku punya yang jelas kalu aku habis dipakai juga hanya dilupakan saja. Tapi aku juga mempunyai hal yang tidak dipunyai oleh mereka?

Matematika:

Apakah itu segitiga yang bisa membedakan kalian dan apakah aku bisa juga menggunakannya?

jajargenjang:

Ya aku hanya memiliki sisi yang berhadapan sama panjang dan besar sudut aku juga sama. Namun kalau aku digunakan orang apling aku hanya dijadikan sebuah gambaran

Matematika:

Bukannya yang kamu bilang tadi juga sama yang dimiliki oleh persegi dan persegi panjang. Jadi mana yang harus bisa dipakai matematika kalau gitu?

Jajargenjang:

Untuk mencari jawaban coba kamu bertanya kepada belah ketupat apakah dia juga mempunyai yang kamu cari matematika

Matematika:

Belahketupat aku matematika, kata dari jajargenjang kamu mempunyai apa yang aku cari apakah betul?

Belahketupat :

Aku sendiri tidak tahu apa yang kamu cari matematika, namaun aku hanya mempunyai beberapa kegunaan yang bisa digunakan oleh orang dan aku juga hanya mempunyai apa yang dipunyai oleh mereka tadi matematika.

Matematika :

Emang apa yang kamu miliki belahketupa? Apakah aku bisa menggunakannya?

Belahketupat:

Aku hanya sebuah bangun yang tidak mempunyai makna dan jika dipakai nasib aku juga sama dengan mereka pasti dibuang. Aku hanya sebuah gabungan dari 2 buah segitiga sama kaki saja dan aku hanya memiliki sumbu simetri yang digunakan oleh diagonal aku. Mungkin yang lain sudah sama yang dipunyai oleh persegi,persegipanjang, jajargenjang tadi.

Matematika:

Terus apa yang kamu bisa berikan kepada saya wahai belahketupat?

Belahketupat:

Sama juga yang lain aku juga belum seperti apa yang kamu duga. Maka kamu tanyalah kepada laying-layang mungkin nanti kamu akan menemukan yang kamu cari nanti.

Matematika:

Apakah benar kamu laying-layang yang mempunyai sepasang sisinya sama panjang dan sepasang sudut sama besar?

Laying-layang:

Ya benar itu aku kenapa matematika apa yang bisa aku bantu?

Apa kamu bisa juga digunakan oleh ku matematika? Seperti apa kalau kamu bisa diguankan aku?

Laying-layang:

Jawaban aku juga sama aku hanya sebuah bangun yang bila nanti setelah dipakai pasti aku dibuang begitu saja seperti mereka tadi yang kamu telah temui dulu.aku juga sama hanya dibuat oleh anak-anak sebagai mainan saja .

Matematika:

Jadi apa yang harus aku lakukan kalau jawaban kalian sama semua?

Laying-layang:

Baiklah kamu harus bertanya kepada trapezium mungkin dia tahu apa yang kamu cari.

Matematika :

Trapezium apa kamu juga sama sperti mereka kamu bukan yang aku cari?

Trapezium :

Ya mungkin yang kamu cari pada aku juga sama seperti jawaban mereka semua karena aku merupakan bagian dari mereka. Setelah dipakai pastoi dibiarkan begitu saja.

Matematika:

Kalau jawaban kalian sam semua apa yang harus aku lakukan untuk bisa aku pergunakan.

Bangun segi-4:

Bangun segi-4 datang dan menjelaskan sebenarnya wahai matematika mereka semualah yang bisa mamu gunakan karena mereka merupakan satu kesatuan yang mempunyai sifat, dan bentuk yang sama namun harus cermat dalam melihat dan menggunakannya. Karena mereka juga merupakan bagian dari aku “bangun segi-4” yang kamu cari-cari selama ini.

Matematika:

Jadi apakah aku bisa menggunakan mereka semua dalam setiap kegiatan aku untuk matematika wahai bangun segi-4?

Bangun segi-4:

Ya pergunakan sebaik-baiknya. Karena mereka sama bagian dari aku

Rabu, 01 April 2009

REFLEKSI KEDUA

PEMIKIRAN FILSAFATI TENTANG MATEMATIKA


Bidang pengetahuan sebagai perwujudan dari interaksi filsafat dengan matematika yang sangat menarik dengan perhatian filsuf dan/atau ahli matematika disebut dengan pelbagai nama, yakni:

- philosophy of mathematics ( filsafat matematika)

- foundation of mathematics ( landasan matematika)

- metamathematics ( adi – matematika)

- mathematical philosophy ( filsafat kematematikaan)

Bidang pengetahuan yang disebut filsafat matematika merupakan hasil pemikiran filsafati yang sasaranya ialah matematika itu sendiri. Filsafat sebagai rangkaian aktivitas dari budi manusia ialah pemikiran reflektif ( reflective thinking). Pemikiran reflektif atau untuk singkatannya refleksi (reflection) dapat dirincikan sebagai jenis pemikiran yang terdiri atas mempertimbangkan secara cermat suatu pokok soal dalam pikiran dan memberikannya perhatian yang sungguh – sungguh dan terus menerus ( the kind of thinking that consists in turning a subject over in the mind and giving it serious and consecutive consideration). Suatu pendapat lain yang mirip merumuskannya sebagai pertimbangan cermat secara penuh perhatian beberapa kali terhadap hal yang sama (thinking attentively several times over same thing). Dalam sebuah kamus pisikologi reflective thinking dianggap sepadan dengan logical thinking (pemikiran logis), yakni aktifitas budi daya manusia yang diarahkan sesuai dengan kaidah – kaidah logika.

Dengan demikian filsafat matematika pada dasarnya adalah pemikiran reflektif terhadap matematika. Matematika menjadi ilmu pokok soal yang dipertimbangkan secara cermat dan penuh perhatian. Pemikiran filsafati juga bersifat reflektif dalam arti menengok sendiri untuk memahami bekerjannya budi itu sendiri. Ciri relektif yang denikian itu ditekankan oleh para filsuf Inggris R.G. Collingwood yang menyatakan “Philosophy is reflective”. The philosophizing mind never simply thinks about an object; it always, while thinking about any object, think also about its own thought about than object.” (Filsafat bersifat reflektif. Budi yang berfilsafat tidaklah semata – mata berpikir tentang suatu obyek, budi itu senantiasa berpikir juga berpikir tentang pemikirannya sendiri tentang obyek itu). Jadi budi manusia yang diarahkan untuk menelaah obyek – obyek tertentu sehingga melahirkan matematika kemudian juga memantul berpikir tentang matematika sehingga membutuhkan filsafat matematika agar memperoleh pemahaman apa dan bagaimana sesungguhnya matematika itu.

Di antara ahli – ahli matematika dan para filsuf tidak tampak kesatuan pendapat mengenai apa filsafat matematika itu. Sebagai sekedar contoh dapatlah dikutipkan dari perumusan – perumusan dari 2 buku matematika dan 2 buku filsafat yang berikut:

1) Suatu filsafat matematika dapatlah dilukiskan sebagai suatu sudut pandangan yang dari situ pelbagai bagian dan kepingan matematika dapat disusun dan dipersatuja berdasarkan beberapa asas dasar.

2) Secara khusus suatu filsafat matematika pada dasarnya sama dengan suatu percobaan penyusunan kembali yang dengannya kumpulan pengetahuan matematika yang kacau – balau yang terhimpun selama berabad – abad diberi suatu makna atau ketertiban tertentu.

3) Penelaah tentang konsep – konsep dari pembenaran terhadap asas – asas yang dipergunakan dalam matematika

4) Penelaah tentang konsep – konsep dan sistem – sistem yang terdapat dalam matematika, dan mengenai pembenaran terhadap pernyataan – pernyataan berikut.

Dua pendapat yang pertama dari ahli – ahli matematika menitik beratkan filsafat matematika, sebagai usaha menyusun dan menertibkan bagian – bagian dari pengetahuan matematika yang selama ini terus berkembang biak. Sedang 2 definisi berikutnya dari ahli filsafat merumuskan filsafat matematika sebagai studi tentang konsep – konsep dalam matematika dan pembenaran terhadap asas atau pembenaran matematika.

Menurut pendapat filsuf Belanda Evert Beth di sampingnya matematika sendiri dan filsafat umum harus pula dibedakan adanya 2 bidang pemikiran lainya, yakni filsafat matematika dalam arti yang lebih luas (philosophy of mathematics in a broader sense) dan penelitian mengenai landasan matematika (foundation mathematics). Landasan matematika kadang – kadang disamakan pengertiannya dengan filsafat matematika. Tetapi sesungguhnya landasan matematika merupakan bidang pengetahuan yang palling sempit dari bidang filsafat matematika. Foundation of mathematics khususnya bersangkut paut dengan konsep – konsep asas foundamental (fundamental concepts and principles) yang mempergunakan dalam matematika. Dengan demikian kedua definisi philosophy of mathematics dari kamus – kamus filsafat tersebut diatas lebih merupakan batasan pengertian matematika. Charles Parsons dalam The Encyclopedia of Philosophy menegaskan:

Penelitian landasan senantiasa bersangkutan dengan masalah tentang pembenaran terhadap pernyataan – pernyataan dan asas – asas matematika, dengan pemahaman mengapa proporsisi – proporsisi tertentu yang jelas sendirinya adalah demikian, dengan pemberian pembenaran terhadap asas – asas yang telah diterima tampaknya tidak sendirinya begitu jelas, dan dengan penemuan dan penanggalan asas – asas yang tak terbebankan.)

Dari konsep pokok dan prinsip dasar foundations of mathematics meneruskan penelaahnya sehingga sampai pada sifat alami ( nature) dari matematika bahkan juga tentang metode matematika. Hal ini dapat ditegaskan dalam Encyclopaedia Britannica sebagai berikut:

Penelaah tentang landasan matematika telah bersangkut paut dengan konsep – konsep dan patokanpikir – patokanpikir mengenai konsep – konsep itu yang dengannya matematika bermula. Khususnya setelah 1900 penyelidikan – penyelidikan landasan berlangsung hingga mencakup suatu penyelidikan terhadap sifat alani dan lingkupan dari metode matematika.

Dengan adanya perluasan pokok soal dan permasalahan yang ditelaah itu dapatlah dimengerti bilamana foundations of mathematics seolah – olah identik dengan philosophy of mathematics. Tetapi seperti yang telah dinyatakan dimuka landasan matematika sesungguhnya kalah luas dibandingkan dengan filsafat matematika. Seorang ahli matematika menyatakan bahwa perkataan atau ‘foundations’ bilamana dipakai oleh para ahli matematika mengacu pada studi tentang sifat alami mendasar dari matematika (studies of the basic nature of mathematics.

Dalam abad 20 ini studi mengenai sifat alami dari matematika membubuhkan 3 mahzab landasan matematika yang terkenal dengan nama logisisme, formalisme, dan intutionisme. Mahzab logisisme dipelopori oleh para filsuf Inggis Bertrand Artur Williams Russell. Dalam 1903 terbitlah buku beliau The Principles of mathematics yang berpegang pada pendapat bahwa matematika murni semata – mata terdiri atas deduksi – deduksi dan prinsip logika. Dengan demikian matematika dan logika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematika dapat dituturkan dari logika. Dalam sebuah karya tulis lainya Russell menegaskan hubungan matematika sebagai berikut:

Tetapi kedua – duanya berkembang dalam zaman modern; logika telah menjadi bersifat matematis dan matematika menjadi bersifat logis.Akibatnya ialah bahwa kini menjadi sepenuhnya tak mungkin untuk menarik suatu garis di antara keduanya; sesungguhnya dua hal itu merupakan satu. Mereka berbeda seperti anak dan orang dewasa:logika merupakan masa muda dari matematika dan matematika merupakan masa muda dari logika.

Dalam tahun 1910 – 1913 Bertrand Russell bejerja sama dengan Alfred North White Head mengarang karya tulis raksasa berjudul Principia Mathematika (Asas – asas Matematika) sebanyak 3 jilid dengan tebal seluruhnya 1992 pagina untuk membuktikan bahwa logika masa muda dari matematika dan matematika masa dewasa dari logika. Pembuktian itu memulai dengan pangkal – pangkal pendapat dari logika dan kemudian dengan deduksi – deduksi iba pada hasil yang nyata – nyata ternasuk dalam bidang matematika. Sesuatu pengertian matematika seperti misalnya bilangan terbukti dapat dinyatakan dengan istilah istilah logika – logika atau dalam rangka tetapan – tetapan logika dan segenap sifatnya ditunjukan oleh logika.

Mahzab landasan matematika formalisme dipelopori ahli matematika besar dari Jerman David Hilbert. Menurut mahzab ini sifat alami dari matematika adalah sebagai sisitem lambang yang formal. Matematika bersangkut paut dengan sifat – sifat struktural dari simbol – simbol dan proses terhadap pengolahan lambang itu.

Simbol – simbol dianggap mewakili pelbagai sasaran yang menjadi obyek matematik. Bilangan – bilangan misalnya dipandang sebagai sifat – sifat struktural yang paling sederhana dari benda – benda. Dengan simbolisme abstrak yang dilepaskan dari sesuatu arti tertentu dan hanya menunjukkan bentuknya saja mahzab formalisme berusaha menyelidiki struktur dari pelbagai sistem. Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung mahzab tersebut merumuskan matematika sebagai ilmu tentang sisitem – sistem formal (Mathematics is the science formal system).

Berlawanan dengan mahzab formalisme berkembanlah mahzab landasan matematika intutionisme yang dipelopori ahli matematika Belanda Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Beliau berpendirian bahwa matematika adalah bagian yang eksak dari pemikiran manusia. Ketepatan dalil dalil matematika terletak dalam akal manusia (human intellect) dan tidak pada simbol – simbol diatas kertas sebagaimana diyakini oleh mahzab formalisme. Dalam pemikiran mahzab intutionisme matematika berandaskan suatu ilham dasar ( basic intution) mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tak terbatas. Ilham ini pada hakekatnya merupakan suatu aktivita berpikir yang tak tergantung pada pengalaman, bebas dari bahasa dan simbolisme, serta bersifat secara obyektif.

Istilah ‘foundation’ dalam bidang keilmuan mempunyai makna – makna berlainan. Oleh karena itu untuk kejelasan maknanya kadang – kadang dibubuhi cirinya yang dimaksud. Dalam kaitannya dengan matematika orang menegaskannya dengan istilah ‘logical foundation of mathematics’ ( landasan logis matematika). Istilah ‘logical foundations’ dapat juga dipersamakan dengan ‘philosophical foundations’ ( landasan filsafat) seperti misalnya dilakukan oleh filsuf Rudolf Carnap (1981 – 1970). Dengan landasan logis atau filsafati itu para ahli sesuatu bidang ilmu didasarkan kemungkinan keterbatasan dan kesalahan dari patokanpikir – patokanpikir yang digunakannya sebagai pangkal ilmunya.

Selain landasan matematika yang kadang – kadang secara kurang tepat dipersamakan dengan filsafat matematika, ada lagi suatu bidang pengetahuan yang juga dicampurkan dengan philosophy of mathematics, yakni metamathematics (adi matematika). Misalnya Arthur Pap yang menegaskan perbedaan antara mathematics dan metamathematics menyatakan bahwa meta – mathematics disebut juga “philosophy of mathematics”.

Perkataan Yunani ‘meta’ berarti di luar, di atas titik balik, atau sesudah. Dalam hubungannya dengan sesuatu cabang ilmu atau bidang pengetahuan awalan meta umumnya diartikan sebagai suatu teori, suatu bahasa, atau suatu uraian yang justru membahas atau mempaparkan cabang ilmu yang bersangkutan. Dengan demikian secara harafiah mathematics memang dapat berarti bidang pengetahuan yang berada di luar atau di atas matematika yang menelaah matematika itu sendiri seperti halnya filsafat matematika. Tetapi menurut asal mulanya dan pertumbuhan selanjutnya adi – matematika dimaksukkan sebagai teori pembuktian untuk menetapkan ada atau tidak konsistensi dalam matematika dan menjawab masalah lainnya seperti problim keputusan dan kelengkapan dalam suatu sistem formal. Sebagai pangkal perkenalan dapatlah kiranya dikutipkan 4 buah perumusan mathematics yang berikut:

1). Formalisasi dari pembuktian matematika dengan perantaraan suatu sistem logika memungkinkan adanya sebuah teori tentang pembuktian dan hal dibuktikan yang dalam teori itu pembuktian dan hal yang dapat dibuktikan yang dalam teori itu pembuktian – pembuktian diperlakukan sebagai pengolahan – pengolahan nyata terhadap rumus – rumus dan tidak dipersoalkan arti dari rumus – rumus itu. Ini merupakan teori pembuktian dari Hilbert atau adi – matemtika.

2). Adi – Matematika adalah suatu cabang dari logika matematika yang menelaah teori – teori formal dan memecahkan persoalan – persoalan yang menyangkut teori – teori demikian itu.

3). Pattrick Suppes merumuskan metamathematics sebagai cabang matematika yang menyelidiki struktur dari sistem – sistem bahasa atau teori – teori yang diformalkan dan hubungannya dengan entitas – entitas matematika lainnya (that branch of mathematics which investigates the structure of formalized languages of theories and their relationship to other mathematical entities).

4). Hilbert dan para pengikutnya memakai ide – ide semacam ini untuk menyusun sebuah teori pembuktian yang diformalkan, termasuk didalamnya sebagai teori logika simbiotik. Tujuan dari teori itu adalah membuktikan konsistensi dari struktur logis matematika biasa. Oleh karena itu berada diluar matematika, ini disebut adi – matematika)

Dari kutipan diatas ternyata menurut intinya ada kesatuan pendapat mengenai apa mathematics itu. Tetapi pelbagai perumusan itu juga menunjukkan suatu perbedaan yang mencolok yakni status adi Рmatematika apakah merukpakan suatu teori di luar matematika atau suatu cabang/sistem logika ataukah suatu bagian dari itu sendiri. Ahli matematika Perancis Jean Dieudonné ahli matematika sesungguhnya merupakan suatu cabang dari matematika terapan, karena perbincangan Рperbincangan matematika diterapkan pada objek berupa kalimat Рkalimat dari teori yang diformalkan dan pengaturannya menjadi pembuktian Рpembuktian.

Mathematics dipelopori dan dikembangkan oleh David Hilbert yang juga menjadi pelopor dari mahzab landasan matematika formalisme. Formalisasi yang ketat itu meliputi penentuan – penentuan simbol – simbol yang dengan abstraksi sepenuhnya lalu terlepas dari sesuatu arti tertentu. Rangkaian lambang – lambang tersusun baik kemudian menjadi formula – formula atau rumus – rumus untuk memaparkan perbincangan – perbincangan berdasarkan bentuknya (form) saja. Perbincangan dalam bahasa biasa mempergunakan kalimat – kalimat yang dipahami berdasarkan artinya. Bagi sesuatu cabang matematika formalisasi yang demikian itu menghasilkan sistim formal ( formal system). Sistim formal ini kadang – kadang disebut pula teori formal atau matematika formal. Selanjutnya dalam program Hilbert sistem formal sebagai suatu keseluruhan di jadikan obyek dari suatu studi matematika yang dinamakan adi – matematika atau teori pembuktian. Sthepen Cole Kleene dalam buku pengantarnyamenegaskan lingkupan adi – matematika itu sebagai berikut:

Adi – matematika meliputi pemaparan atau definisi dari sistem – sistem formal maupun penyelidikan terhadap sifat – sifat dari sistim formal khususnya matematika, yakni menelaah sifat – sifat dari sesuatu sistim formal khusus, kita dapat menanamkan sistem teori itu teori sasaran dan adi – matematika yang bertalian dengannya adi – teorinya.

Demikianlah dari uraian dimuka ternyatalah bahwa metamathematics juga tidak identik dengan philosophy of mathematics. Seperti halnya foundations of mathematics, adi – matematika juga lebih terbatas ruang lingkupnya daripada filsafat matematika, yakni menelaah sifat – sifat dari sesuatu sistem formal khususnya matematika untuk membuktikan konsistensi dan kelengkapan dari sesuatu cabang matematika.

Dalam kepustakaan masih ada satu lagi bidang pemikiran filsafati yang bersangkut paut dengan matematika, yaitu mathematical philosophy yang sebaiknya di terjemahkan ke Bahasa Indonesia menjadi filsafat kematematikaan untuk dibedakan dengan filsafat matematika (philosophy of mathematics). Tampaknya suatu pembedaan dapatlah kiranya dilakukan menafsirkan mathematical philosophy sebagai filsafat berdasarkan matematika, sedang tafsiran philosophy of mathematics ialah filsafat mengenai matematika. Dengan tafsiran yang demikian itu tampaklah kini perbedaan yang lebih jelas antara kedua bidang pemikiran itu. Filsafat kematematikaan sebagai suatu filsafat berdasarkan matematika memakai matematika sebagai pangkal tolak sumber ide untuk melakukan pemikiran filsafati. Suatu contoh dari mathematical philosophy adalah Phytagoreanisme yang dipaparkan dalam Bab I dimuka. Aliran filsafat ini berpangkal pada bilangan mengemukakan pemikiran filsafati bahwa semua fenomena alam merupakan pengungkapan inderawi dari perbandingan – perbandingan matematis. Di pihak lain filsafat matematika sebagaimana dinyatakan pada permulaan bab ini merupakan pemikiran filsafati tentang matematika untuk memperoleh pemikiran tentang matematika itu untuk memperoleh pemahaman menganai segenap segi apa dan bagaimana dari matematika itu.

Usaha ini untuk memahami segenap aspek dari matematika telah membubuhkan bidang pengetahuan filsafat matematika yang sangat luas pada dewasa ini. Filsafat matematika merupakan salah satu cabang dari filsafat ilmu – seumumnya (philosophy of science – in – general). Dengan demukuan persoalan – persoalan dalam filsafat ilmu seumumnya juga mempunyai kaitan dengan filsafat matematika.